Recém-descoberta forma matemática de 'Einstein' cria um nunca

Uma nova forma chamada einstein conquistou o mundo da matemática. O ladrilho escarpado em forma de chapéu pode cobrir um plano infinito com padrões que nunca se repetem.

Ladrilhar o chão do banheiro de forma criativa não é apenas uma tarefa estressante para os reformadores de casas DIY. É também um dos problemas mais difíceis da matemática. Durante séculos, os especialistas estudaram as propriedades especiais das formas de ladrilhos que podem cobrir pisos, salpicos de cozinha ou planos infinitamente grandes sem deixar lacunas. Especificamente, os matemáticos estão interessados ​​em formas de ladrilhos que possam cobrir todo o plano sem nunca criar um design repetido. Nesses casos especiais, chamados ladrilhos aperiódicos, não há um padrão que você possa copiar e colar para manter o ladrilho funcionando. Não importa como você corte o mosaico, cada seção será única.

Até agora, ladrilhos aperiódicos sempre exigiam pelo menos dois ladrilhos de formas diferentes. Muitos matemáticos já haviam perdido a esperança de encontrar uma solução com um ladrilho, chamado de indescritível ladrilho "einstein", cujo nome vem das palavras alemãs para "uma pedra".

Então, em novembro passado, o engenheiro de sistemas de impressão aposentado David Smith, de Yorkshire, Inglaterra, fez uma descoberta. Ele descobriu uma forma escarpada de 13 lados que ele acreditava ser um ladrilho Einstein. Quando contou a Craig Kaplan, um cientista da computação da Universidade de Waterloo, em Ontário, Kaplan rapidamente reconheceu o potencial da forma. Juntamente com o desenvolvedor de software Joseph Samuel Myers e o matemático Chaim Goodman-Strauss, da Universidade de Arkansas, Kaplan provou que o ladrilho singular de Smith realmente pavimenta o plano sem lacunas e sem repetição. Melhor ainda, eles descobriram que Smith havia descoberto não apenas um, mas um número infinito de ladrilhos de einstein. A equipe relatou recentemente seus resultados em um artigo que foi postado no servidor de pré-impressão arXiv.org e ainda não foi revisado por pares.

Qualquer um que tenha percorrido os deslumbrantes corredores de mosaico do palácio Alhambra em Granada, na Espanha, conhece a arte envolvida em ladrilhar um avião. Mas essa beleza abriga questões sem resposta — questões que, como afirmou o matemático Robert Berger em 1966, são comprovadamente improváveis.

Suponha que você queira ladrilhar uma superfície infinita com um número infinito de ladrilhos quadrados. No entanto, você deve seguir uma regra: as bordas das peças são coloridas e apenas as bordas da mesma cor podem se tocar.

Com ladrilhos infinitos, você começa a colocar as peças. Você encontra uma estratégia que acha que vai funcionar, mas, em algum momento, chega a um beco sem saída. Há uma lacuna que você simplesmente não pode preencher com os ladrilhos disponíveis e é forçado a colocar bordas incompatíveis uma ao lado da outra. Game Over.

Mas certamente, se você tivesse o ladrilho certo com a combinação de cores certa, poderia ter saído do seu caminho. Por exemplo, talvez você precise de apenas um ladrilho em que todas as bordas sejam da mesma cor. Um matemático olharia para o seu jogo e perguntaria: "Você pode determinar se chegará a um beco sem saída apenas olhando para os tipos de peças coloridas que recebeu no início? Isso certamente economizaria muito tempo."

A resposta, descobriu Berger, é não. Sempre haverá casos em que você não pode prever se pode cobrir a superfície sem lacunas. O culpado: a natureza imprevisível e não repetitiva dos ladrilhos aperiódicos. Em seu trabalho, Berger encontrou um conjunto inacreditavelmente grande de 20.426 ladrilhos de cores diferentes que podem pavimentar um plano sem que o padrão de cores se repita. E melhor ainda, é fisicamente impossível formar um padrão repetitivo com aquele conjunto de ladrilhos, não importa como você os coloque.

Essa descoberta levantou outra questão que tem perseguido os matemáticos desde então: qual é o número mínimo de formatos de ladrilhos que juntos podem criar um mosaico aperiódico?

Nas décadas que se seguiram, os matemáticos encontraram conjuntos cada vez menores de ladrilhos que podem criar mosaicos aperiódicos. Primeiro, Berger encontrou um com 104 peças diferentes. Então, em 1968, o cientista da computação Donald Knuth encontrou um exemplo com 92. Um ano depois, o matemático Rafael Robinson encontrou uma variante com apenas seis tipos de ladrilhos e, finalmente, em 1974, o físico Roger Penrose apresentou uma solução com apenas dois ladrilhos.